доброй ночи!
представим дробь
1/n(n+1)(n+2) в виде суммы дробей a/n + b/(n+1) + c/(n+2)
к единому знаменателю и получим такой числитель
а(n+1)*(n+2) + b(n*(n+2) + c(n*(n+1) = a(n2+3n+2)+b(n2+2n)+c(n2+n) =
n2(a+b+c) + n(3a+2b+c) + 2a
числитель должен быть равен 1. данное условие должно выполняться при лююбом n. получаем, коэффиуиенты при n2 и n должны быть равны 0, а 2a = 1
a =1/2
a+b+c = 0
3a+2b+c = 0
вычитаем из второго уравнения первое и получаем равносильное уравнение
2a + b = 0. b = -1
c = 1/2
получаем, 1/n(n+1)(n+2) = 1/(2n) - 1/(n+1)+1/2(n+2)
n = 1 1/2 - 1/2 + 1/6
n = 2 1/4 - 1/3 + 1/8
n = 3 1/6 - 1/4 + 1/10
n = 4 1/8 - 1/5 + 1/12
сумма первых членов равна
1/4 - 1/10 + 1/12
n = 5 1/10 - 1/6 + 1/14
сумма пяти членов равна
1/4 -1/12 + 1/14 или равна 1/4 - 1/2(n+1) + 1/2(n+2)
покажем по индукции что начиная со второго сумма членов указанной последовательности вычисляется по формуле 1/4 - 1/2(n+1) + 1/2(n+2)
n = 1
по формуле получаем 1/4 - 1/2*3 + 1/ 2*4 = 1/4 - 1/6 + 1/8 = сумме первых двух членов. проверьте сами.
сумма первых четрёх членов равна = формуле 1/4 - 1/2(n+1) + 1/2(n+2) с n = 4
покажем теперь, что если сумма первых k членов заданной последовательности вычисляется по формуле 1/4 - 1/2(k+1) + 1/2(k+2)
то и для суммы k+1 члена последовательности формула выполняется.
sk = 1/4 - 1/2(k+1) + 1/2(k+2) - сумма первых k членов последовательности.
sk+1 = sk + 1/(k+1)(k+2)(k+3) =
1/4 - 1/2(k+1) + 1/2(k+2) + 1/(2(k+1)) - 1/(k+1+1)+1/2(k+1+2) =
1/4 + 1/2(k+2) - 1/(k+2) + 1/(2(k+3)) = 1/4 - 1/2(k+2) + 1/2(k+3)
то есть формула верна и для суммы к+1 одного члена последовательности.
ответ: sn = 1/4 -1/2(n+1) +1/2(n+2)
