Какой длины должна быть хорда в окружности радиуса r, чтобы длины дуг, на которые она разбивает окружность относились как 2: 1? ?

хорда ав, разбивает окружность 2/1 или 240 /120 (это град. дуг)

центр о, соединяем концы хорд с центром, треугольник аов равнобедренный, ао=во=радиусу, угола=уголв. угол аов центральный и опирается на дугу ав и равен дуге ав=120, угола=уголв=(180-120)/2=30, проводим высоту = медиане=биссектрисе он на ав, ан=вн= радиус х cos oab = r x корень3/2

ав = ан+вн = r x корень3/2 + r x корень3/2 = r x корень3 = хорде

докажем сначала, что это параллелограмм. диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.

пусть точка о1(х; у) середина ас тогда

х=(-6+6)/2=0;   у=(1-4)/2=-1,5.

пусть точка о2(х; у) середина bd тогда

х=(0+0)/2=0;   у=(5-8)/2=-1,5.

значит о1 совпадает с о2 -   значит abcd  параллелограмм.

о(0; -1,5) - точки пересечения его диагоналей.

докажем что это прямоугольник. если диагонали параллелограмма равны то он прямоугольник.

ас^2=(6+6)^2+(-4-1)^2

ас^2=12^2+(-5)^2

ас^2=144+25

ac^2=169

ac=13

bd^2=(0+0)^2+(-8-5)^2

bd^2=0^2+(-13)^2

bd^2=0+169

bd^2=169

bd=13

ac=bd

abcd - прямоугольник

в силу правильности пирамиды, ее высота   спроецируется в центр правильного треугольника в основании. важно, что это точка пересечения медиан , высот, биссектрис. любая высота равна а*корень из 3/2, две ее части из трех   (свойство медиан) заключены между основанием высоты пирамиды   и точкой входа бокового ребра.   h/(a *корень из трех/3)=tgi (i   это альфа),h=(a*корень из3/3)*tgi.   s(осн)=(a^2корень из 3)/4, v=1/3sh=(a^3/12) tgi

редактором формул пользоваться не умею - где почитать?