1. правильно сделать рисунок. к сожалению не проходят вложения.
из центров окружностей - первых двух и четвертой - образуется равнобедренный тр-ик о1о2о3 с основанием о1о2= 12 и боковой стороной:
о1о3=о2о3 = 6+х, где х - искомый радиус 4-ой окр-ти.
высота этого тр-ка о3а = 12-х и с другой стороны по теореме пифагора:
о3а^2 = (x+6)^2 - 36
итак получим уравнение:
(12-x)^2 = (x+6)^2 - 36
36x = 144 x = 4
ответ: 4 см.
2. ас = 6, ав = вс = 5. аn,bd,cm - высоты
aо= cо = ad/cosa, где а = угол мса = уголnac = угол abd
cosa = bd/ав = (кор(25-9))/5 = 4/5
тогда: ао = со = 3/(4/5) = 15/4
od = ad*tga = 3*3/4 = 9/4
bo = bd - od = 4 - (9/4) = 7/4
ответ: 15/4; 15/4; 7/4.
3.центр впис. окр. - на пересечении биссектрис углов тр-ка авс.
r - радиус вписаной окр-ти.
из чертежа (надо правильно его выполнить, проведя радиусы в точки касания): отрезки до точек касания равны r/tg(a/2), r/tg(b/2), r/(tg(c/2).
тангенс половинного угла считается по формуле tg(a/2) = sina/(1+cosa).
итак в нашей надо найти r и тригоном. ф-ии углов тр-ка.
r=? s = pr и s = кор(p(p-a)(p-b)(p- p = (6+9+12)/2 = 27/2
s = (27кор15)/4 r = s/p =(кор15)/2
функции углов: cosb = (81+36-144)/(2*9*6) = - (1/4), sinb = (кор15)/4
по теореме синусов: 9/sinc = 12/sinb, sinc = (3кор15)/16, cosc = 11/16.
аналогично: sina = (кор15)/8, cosa = 7/8.
считаем тангенсы:
tg(a/2) = (кор15)/15; tg(b/2) = (кор15)/3; tg(c/2) = (кор15)/9.
искомые отрезки равны: 15/2, 9/2, 3/2.
попарно по сторонам:
ответ: 15/2 и 9/2; 9/2 и 3/2; 15/2 и 3/2.
