Основанием правильной треугольной пирамиды mabc служит треугольник abc со стороной 6. ребро ma перпендикулярно грани mbc. через вершину пирамиды m и серeдины рёбер ac и bc проведена плоскость α. а ) докажите, что сечение пирамиды плоскостью α является равносторонним треугольником. б) найдите расстояние от вершины c до плоскости α.

a) пусть середины ребер ac и bc - соответственно d и e .

de - очевидно 3 , поэтому надо доказать что апофемы пирамиды md и me тоже равны трем.

рассмотрим треугольник ame . он по условию прямоугольный с прямым углом m ( ma перпендикулярно mbc )

высота mo проецируется в центр основания abc ( пирамида правильная   )

ae = 6√3/2 = 3√3

ao=2√3

eo = √3

пусть высота mo - h

тогда по теореме пифагора

h^2+(√3)^2+h^2+(2√3)^2=(3√3)^2

откуда h=√6

me^2 = h^2+3

me=3

доказано.

б) пусть с - начало координат

ось x - ca

ось y   - перпендикулярно x в сторону b

ось z - перпендикулярно abc в сторону m

координаты точек

d(3; 0; 0)

e(3/2; 3√3/2; 0)

m(3; √3; √6)

уравнение плоскости dem

ax+by+cz+d=0 подставляем координаты точек

3a+d=0

3a/2+3√3b/2+d=0

3a+√3b+√6c+d=0

пусть d= -6 тогда a=2 b=2/√3 c= - 2/√6

2x+ 2y/√3 - 2z/√6 - 6 =0

k=√ (4+4/3+4/6) = √6

нормализованное уравнение

2x/√6+ 2y/(√3√6) - 2z/(√6√6) - 6/√6 =0

расстояние от с (начала координат)   до плоскости dem равно

6/√6 = √6

треугольник авс, вн-высота и медиана треугольника. ав=вс=15 см, ас=24 см

рассм. треугольник авн-прямоугольный. ан= 0.5*ас=12 см, ав=15 см. по т. пифагора вн==9 см

площадь авс= 0.5*9*24=108 см2

далее вопользуемся формулой s=p*r, где s-площадь треугольника авс, р-полупериметр, р=(15+15+24)/2=27 см, r-радиус вписанной окружности

r=s/p=108/27=4 см

1) р=12 корень из 3            p= 12 корень из 3/ 2 =  6 корень из 3

  р=3*а

а= сторона= 12 корень из 3/  3 = 4 корень из 3

s= корень из 3/4 * а^2= 12 корень из 3

r=s/p

r= 12 корень из 3 / 6 корень из 3= 2см