решение: центр о описанной окружности лежит на медиане, проведенной к основанию треугольника.
медиана проведенная к основанию равнобедренного треугольника является его биссектрисой и высотой (свойство равнобедренного треугольника) .
cредняя линия треугольника, соединяющая середины двух сторон, параллельна третьей стороне и равна её половине.
поэтому ac=2*mn=2*корень (15).
пусть вк – медиана, проведенная к основанию ас, тогда
ак=ск=1\2*ас=
1\2* 2*корень (15)=корень(15).
1 случай) если центр о описанной окружности лежит внутри треугольника авс, тогда:
по теореме пифагора ok^2=oa^2-аk^2
ok^2=8^2-(корень(15))^2=49
ок=7
вк=ов+ок=8+7=15.
по теореме фалеса так как mn||ac, ак=ск, то мl=nl, где l– точка пересечения медианы вк и средней линии mn.
ml=nl=1\2*mn=1\2*корень (15).
по теореме фалеса так как mn||ac, ам=см, cn=bn, значит bl=kl
bl=kl=1\2*bk=1\2*15=7.5
lo=ob-bl
lo=8-7.5=0.5
mn||ac, вк перпендикулярна к ас, значит вк перпендикулярна к mn, значит треугольник lmo прямоугольный с прямым углом mlo.
по теореме пифагора:
om^2=lo^2+ml^2
om^2=0.5^2+(1\2*корень (15))^2=4
om=2
2 случай) если центр о описанной окружности лежит вне треугольника авс, тогда:
по теореме пифагора ok^2=oa^2-аk^2
ok^2=8^2-(корень(15))^2=49
ок=7
вк=ов-ок=8-7=1.
по теореме фалеса так как mn||ac, ак=ск, то мl=nl, где l– точка пересечения медианы вк и средней линии mn.
ml=nl=1\2*mn=1\2*корень (15).
по теореме фалеса так как mn||ac, ам=см, cn=bn, значит bl=kl
bl=kl=1\2*bk=1\2*1=0.5
lo=ob-bl
lo=8-0.5=7.5
mn||ac, вк перпендикулярна к ас, значит вк перпендикулярна к mn, значит треугольник lmo прямоугольный с прямым углом mlo.
по теореме пифагора:
om^2=lo^2+ml^2
om^2=7.5^2+(1\2*корень (15))^2=60
om=корень(60)=2*корень(15)
з.і. вроде так*
