решение: пусть аbcd – данный ромб, угол а=угол с=l.
площадь ромба равна произведению квадрата стороны на синус угла между сторонами
s=ab^2 *sin a
s=a^2* sin l
полупериметр робма равен полусумме сторон ромба
p=4*a\2=2*a
площадь ромба равна произведению полупериметра на радиус вписанной окружности
s=p*r
откуда
r=s\p= a^2* sin l \ (2*a)=a\2* sin l
пусть x, y – точки касания вписанной в ромб окружности со сторонами ab и ad соответсвенно , пусть h – точка пересечения, прямой fg, перпендикулярной к диагонали ас, вторая окружность касается сторон ab и ad и соприкасается с первой окружностью в точке h, значит вторая окружность – окружность вписанная в треугольник afg.
угол b=угол d=180 – угол а=180-l
диагональ ас ромба равна по теореме косинусов
ac^2=ab^2+bc^2-2*ab*bc*cos b=
=a^2+a^2-2*a*a*cos (180-l)=2*a^2* (1+cos l)
ac=корень(2*a^2* (1+cos l))=2*а*|cos l\2|=2*a*cos (l\2)
(воспользовались формулой понижения квадрата косинуса)
пусть о – центр вписанной в ромб окружности
диагонали ромба пересекаються и в точке пересечения делятся пополам, причем точка пересечения является центром вписанной в ромб окружности(свойство ромба)
значит ао=1\2*ас=1\2*2*a*cos (l\2)= a*cos (l\2)
далее ah=ao-oh= a*cos (l\2) -a\2* sin l=a*cos (l\2)*(1-sin(l\2))
af=ah\cos (a\2)= a*cos (l\2)*(1-sin(l\2)) \cos (l\2)=
= a*(1-sin(l\2))
fh=ah*tg (a\2)= a*cos (l\2)*(1-sin(l\2))*tg (l\2)= a*sin (l\2)*(1-sin(l\2))
fg=2*fh=2* a*sin (l\2)*(1-sin(l\2))
треугольники afh и agh равны как прямоугольные за катетом и острым углом(угол fah=угол gah – диагональ ромба есть его биссектриссой – свойство ромба, ah=ah,
прямая fg касательная к первой окружности, значит перпендикулярная к ас, отсюда углы fha и gha прямые).
из равенства треугольников получаем af=ag
площадь треугольника равна произведению половины основания на висоту
площадь треугольника afh :
s (afg)=fh*ah= a*sin (l\2)*(1-sin(l\2))* a*cos (l\2)*(1-sin(l\2))=
1\2*a^2 *sin l *(1-sin(l\2))*^2
полупериметр треугольника равен
p (afg)= (af+fg+ag)\2=( a*(1-sin(l\2))+ a*(1-sin(l\2))+ 2* a*sin (l\2)*(1-sin(=
a*(1-sin(l\2))+ a*sin (l\2)*(1-sin(l\2))= a*(1-sin(l\2))*(1+sin(l\2))=
a*(1-sin^2 (l\2))=a*cos^2 (l\2)
радиус вписанной окружности в треугольник равен площадь\полуперимтер,
радиус равен 1\2*a^2 *sin l *(1-sin(l\2))*^2 \( a*cos^2 (l\2))=
=a*tg (l\2)*(1-sin(l\2))^2
ответ: a*tg (l\2)*(1-sin(l\2))^2
