Вариант 3
1. В треугольнике MNP сторона МР продолжена за точ-
ку М на длину МК = MN и за точку Р на длину
PS = PN. Точка N соединена с точками КиЅ. Опреде-
лите внешние углы треугольника KSN, если угол
KMN равен 142°, а угол NPM равен 54°.
2. Докажите, что в прямоугольном треугольнике медиа-
на и высота, проведенные к гипотенузе, образуют
угол, равный разности острых углов треугольника.
3. В треугольнике ABC проведена биссектриса ВМ
угла В. Найдите высоту MH треугольника ВМА, если
ZACB = 88°, 2CBM = 31°, AM = 18 см.
4. На стороне AC треугольника АВС взята точка D так,
что BD = DC. Найдите углы В и С треугольника ABC,
если угол А = 108°, а угол ABD = 26°.​

а) найдем вс:

вс^2 = 64 + 49 - 2*8*7*11/14 = 25

вс = 5

теперь по теореме синусов найдем угол в:

7/(sinb)  = 5 / (sina)    sina = кор(1- (121/196)) = (5кор3)/14

sinв = (кор3)/2          угол в = 60 гр.

найдем радиус r вписанной окр-ти.

  r = s/p      s = кор(р(р-a)(p-b)(p-c)) = кор(10*5*3*2) = 10кор3, р = 10(полупериметр)

r = кор3

kl = 2rsin60 = 3

ответ: 3

б)пусть х = s(кривол. тр-ка klb)

х = s(тр.kbl) - (s(сектораkol) - s(трkol))

s(тр.kbl) = (1/2)kl*h = (9кор4)/4

s(сектораkol) = пr^2*120/360 = п

s(трkol) = (r^2 *sin120)/2 = (3кор3)/4

в итоге получим:

х = 3кор3 - п

ответ: 3кор3 - п

треугольник асд-прямоугольный, значит если угол д=60 градусов. то угол сад=30град. пусть сторона сд=х(см). тогда по свойству угла в 30 градусов, гипотенуза ад в 2 раза больше катета сд, ад=2х(см). ас-биссектриса угла а, эначит угол а=60(град), следовательно трапеция равнобедренная и сторона ав то же равна х(см). 

проведем в трапеции две высоты вн и ск, треугольники авн и clr - равны (по гипотенузе и катету), значит ан=кд. рассмотрим треугольник ксд, в нем угол ксд=30 градусов, значит по св-ву угла в 30 градусов кд=1/2сд=0,5х, значит ан=кд=0,5х(см), имеем, что вс=нк=2х-(0,5х+0,5х)=х(см), значит периметр трапеции авсд равен х+х+х+2х=35,х=7.

значит сд=ав=7см 

ответ: ав=7см

проведём диагонали и точку пересечения обозначим о.треугольник aob: угол а=30(т.к. диагонали являются биссектрисами углов),значит  .значит bo=12(т.к. диагонали делятся пополам).

треугольники aob,obc,ocd,oda равны по трем сторонам.

значит площадь всего ромба:

площадь ромба: см

р треугольника= а+b+c, где а+b-это боковые стороны, а с-основание. т.к.р треугольника=36, а основание=10, то 36-10=26(см)-боковые стороны треугольника, т.к.треугольник равнобедренный, значит, его две стороны равны, отсюда, 26: 2=139(см)-одна боковая сторона.