Дана окружность радиуса 2√3 с центром в точке О. Хорда АВ пересекает радиус ОС в точке D, причём угол CDA=120 градусов. Известно, что OD=3. а) Докажите, что расстояние от точки О до хорды АВ равно 3√3/2. б) Найдите радиус окружности, вписанной в угол ADC и касающейся дуги АС.

a)  Расстояние измеряется длиной перпендикуляра.

ODA =180-ADC =60

OE =OD*sin(ODA) =3√3/2  

б) F, G - точки касания.  

Центр O1 искомой окружности лежит на биссектрисе угла ADC.

O1DC =ADC/2 =60

DF =O1F/tg(O1DC) =r/√3

OF =OD+DF =3 +r/√3

Точка касания G лежит на линии центров.

OO1 =OG-O1G =2√3 -r

Теорема Пифагора, △OO1F

OO1^2 =O1F^2 +OF^2

(2√3 -r)^2 =r^2 +(3 +r/√3)^2

r^2 +18√3*r -9 =0

r =6√7 -9√3

r=a/2sin(180/n)=3/2sin36

r=a/2tg36=3/2tg36

sin угла в=ас/вс    отсюда следует, что, ас = sin угла в * вс=0,5*50=25 см.

а по теореме пифагора ас приблизительно будет равно  43 см.