решение: пусть о – центр окружности, пусть р – ближняя из точек пересечения окружности и отрезка ао. пусть n – точка пересечения
тогда прямоугольные треугольники oac и оab равны за катетом и гипотенузой(оf=оa, оc=оb – как радиусы).значит из равности треугольников,ac=ab
угол аoc=угол aob(то же самое угол рoc=угол рob)
угол oac=угол oab(то же самое угол oрc=угол oрb ), значит аp – биссектриса угла а,(то же самое, что an - биссектриса угла а )
ac=ab – значит треугольник abc – равнобедренный
биссектриса равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, есть его высотой и медианой
треугольник abc – равнобедренный, an - биссектриса угла а, значит
угол anb= угол anc=90 градусов
треугольник bop – равнобедренный (bo=op – как радиусы),
значит угол pbo= угол bpo
пусть угол boa= угол bop= угол bon=х.
сумма углов треугольника равна 180.
сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90 градусов.
тогда с треугольника bop
угол pbo= угол bpo=(180 -х)\2=90-х\2
с треугольника aob угол oab=90-х
угол abp= угол oab- угол pbo=90-х-(90-х\2)=x\2
угол pbn=90-угол oab- угол abp=90-(90-x)-x\2=x\2
угол abp= угол pbn, значит bp – биссектриса угла b.
итак, точка p- точка пересечения биссектрис треугольника abc, что и требовалось доказать.
