В остроугольном треугольнике ABC проведена высота AH и медианы AA1, BB1 и CC1. Найдите сумму периметра и длин диагоналей четырехугольника с вершинами в точках A1, B1, C1 и H, если AB=10, AC=11, ∠C=60∘.

Даны стороны треугольника  AB=10, AC=11, и угол ∠C=60°.

По теореме синусов находим угол В.

sin B = 11*sin 60°/10 = 11√3/(10*2) = 11√3/20.

B = arc sin(11√3/20) = 72,29368°.

Находим угол А = 180-60-72,29368 = 47,70632°.

По теореме косинусов находим сторону ВС.

ВС = √(10² + 11² - 2*10*11*cos A) = √(100 + 121 - 220*0,67293) = √72,955189 = 8,541381 .

Находим СН = АС*cos 60° = 11/0,5 = 5,5.

Отрезок ВН = ВC - CH = 8,541381  - 5,5 = 3,041381

Используя косинус угла В = 0,3041381 находим С1Н.

С1Н = √(3,041381 ² + 5² - 2*3,041381 *5*0,3041381) = √25 = 5.

Отрезок НА1 = СН - (ВС/2) = 5,5 - 4,27069 = 1,22931.

Отрезок В1С1 как средняя линя равен (ВС/2) = 4,27069.

Находим А1В1 = √(4,27069 ² + 5,5² - 2*4,27069 *5,5*0,5) = √25 = 5.

Теперь находим диагонали четырёхугольника.

А1С1  = АС/2 = 11/2 = 5,5.

В1Н = √(5,5 ² + 5,5² - 2*5,5 *5,5*0,5) = √30,25 = 5,5.

ответ: сумма периметра и длин диагоналей четырехугольника с вершинами в точках A1, B1, C1 и H равна 2*5 + 1,22931 + 4,27069 + 2*5,5 = 26,5.

а) х-ширина у=х+3 - длина

периметр р=2(х+у)=46

23=х+х+3=2х=20

х=10 см

у=10+3=13 см

площадь s=ху=10*13=130 см2

б) х-ширина у-длина

х/у=2/5     -     у=2,5х

р=2(х+у)=56

х+у=28

х+2,5х=28

3,5 х=28

х=8 см

у=2,5*8=20 см

площадь s=xy=8*20=160 см2

сторона шестиуголника равна а=р/6=48/6=8 см

тогда радиус окружности r=a=8 см

радиус окружности - половина диагонали квадрата по теореме пифагора сторона квадрата равна а²=r²+r²

а=r√2=8√2 см