находим точки удовлетворяющие условию
dz/dx=0
dz/dy=0
частные производные от функции z равны
df/dx=d/dx(27x^2+9xy^2-27x+2y^3)=54x+9y^2-27
df/dy=d/dy(27x^2+9xy^2-27x+2y^3)=18xy+6y^2
приравниваем их к нулю и решаем систему
54x+9y^2-27=0
18xy+6y^2=0
из второго уравнения имеем
x=-y/3
подставив в первое уравнение получим
y^2-2y-3=0
решая это квадратное уравнение получим два корня
y1=-1
y2=3
при y1=-1 имеем x1=1/3
при y2=3 имеем x2=3
а также при y=0 x=0,5
таким образом получили три точки
м1=(1/3; -1)
m2(-1; 3)
m3(0,5; 0)
находим вторые производные
d/dx(df/dx)=d/dx(54x+9y^2-27)=54
d/dy(df/dx)=d/dy(54x+9y^2-27)=18y
d/dy(df/dy)=d/dy(18xy+6y^2)=18x+12y
далее для каждой точки m1 и m2 установим наличие экстремума
m1(1/3; -1)
a=d^2f/dx^2 |м1=54
b=d^2f/dx*dy |м1 =18*(-1)=-18
c=d^2f/dy^2 |m1 =18*1/3+12*(-1)=-6
дискриминат=ac-b^2=54*(-)^2=-648 < 0
так как дискриминат меньше нуля, то точка m1 не имеет ни минимумов ни максимумов
m2(-1 ; 3)
a=d^2f/dx^2 |м2=54
b=d^2f/dx*dy |м2 =18*3=54
c=d^2f/dy^2 |m2 =18*(-1)+12*3=18
дискриминат=ac-b^2=18*54-54^2=-1944< 0
так как дискриминат меньше нуля, то точка m2 не имеет ни минимумов ни максимумов
m3(0,5; 0)
a=d^2f/dx^2 |м3=54
b=d^2f/dx*dy |м3 =18*0=0
c=d^2f/dy^2 |m3 =18*(0,5)+12*0=9
дискриминат=ac-b^2=54*9-0^2=486> 0
так как дискриминант > 0 и а> 0, то функция z имеет min в точке m3(0,5; 0)
zmin=27x^2+9xy^2-27x+2y^3=27*(1/2)^2+9*0,5*0^2-27*1/2+2*0^3=
27/4-27/2= -6,75
