Найти три первых отличных от нуля члена разложения в степенной ряд решения дифференциального уравнения y`=f(x, y), удовлетворяющего начальному условию y(0)=y0

ответ: y(x)≈4-3*x+2*x².

Пошаговое объяснение:

Ищем искомое частное решение y(x) в виде ряда: y(x)=a0+a1*x+a2*x²+...+an*x^n+... Коэффициенты an выражаются формулой an=y⁽ⁿ⁾(0)/n!, поэтому окончательно y=∑y⁽ⁿ⁾(0)*xⁿ/n!

1. По условию, y(0)=4 - первый ненулевой член разложения найден.

2. Найдём y'(0): y'(0)=e^0-y(0)=1-4=-3. Поэтому второй ненулевой член решения уравнения имеет вид -3*x¹/1!=-3*x.

3. Найдём y"(0). Для этого продифференцируем уравнение, после чего получим: y"=e^x-y'. Отсюда y"(0)=e^0-y'(0)=1+3=4 и тогда третий ненулевой член решения уравнения имеет вид 4*x²/2!=2*x².

Теперь приближённо находим частное решение: y(x)≈4-3*x+2*x².

a) 0,3+0,3^2+0,3^3=0,3+0,09+0,027=0,417

б) 0,5-0,5^2-0,5^3=0,5-0,25-0.125=0,125

в) 1/3-(1/3)^2=1/3-1/9=2/9

с) (1/2)^2-(1/2)^3=1/4-1/8=1/8