㏒₃4 > 0, т.к. основание равно 3 > 1, а подлогарифмическое выражение равно 4, то есть его значение больше значения основания.
допустим, что это число рационально. значит оно представимо в виде b/n, где b/n > 0, b, n - целые, b, n ≠ 0. не нарушая общности, допустим, что b, n - натуральные.
тогда:
㏒₃4=b/n → n*㏒₃4=b → ㏒₃(4ⁿ)=b → 3ᵇ=4ⁿ
3ᵇ - нечетное для любой натуральной степени b [3ᵇ≡1ᵇ(mod 2)=1]
4ⁿ - четное для любой натуральной степени b [4ᵇ≡0ᵇ(mod 2)=0]
получаем равенство четного и нечетного чисел. противоречие. значит число ㏒₃4 иррационально.
ч.т.д.
