доказательство: a и b - острые углы тупоугольного треугольника, значит угол с тупой и
0< a< 90,0< b< 90,90< c< 180 и
cos c< 0,cos a> 0,cos b> 0 (*)
tga*tgb< 1 равносильно неравенству
tga*tgb-1< 0
рассмотрим левую часть неравенства, используя тригонометрические формулы
tg x=sin x\cos x
cos (a+b)= cosa*cosb- sinasinb
cos(180-a)=-cos a
и соотношение углов треугольника a+b+c=180 и учитывая (*):
tga*tgb-1=sina\cos a*sin b\cos b-1=(sinasinb-cosa*cosb)\(cos a*cos b)=
=-cos(a+b)\(cos a*cos b)=cos(180-(a+b))\(cos a*cos b)=cos c\(cos a*cos b)< 0,
а значит tga*tgb-1< 0, или tga*tgb< 1, что и требовалось доказать.
